RUMUS RUMUS ISOMETRI

A. REFLEKSI
Kalian pasti sering bercermin. Ketika bercermin, amatilah diri dan bayangan kalian. Apakah memiliki bentuk dan ukuran yang sama? Amati pula jarak diri kalian ke cermin. Samakah dengan jarak bayangan kalian ke cermin? Dengan bercermin dan menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, kalian akan menemukan beberapa sifat pencerminan.

Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahwa:
• Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Q’
• Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak setiap titik bayangannya ke cermin, yaitu QA = Q’A dan PB = P’ B.
• Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku.
Sifat-sifat tersebut merupakan sifat-sifat refleksi.
Matriks yang bersesuaian dengan tranformasi geometri
Refleksi Rumus Matriks
Refleksi terhadap sumbu-x

Refleksi terhadap sumbu-y

Refleksi terhadap garis y=x

Refleksi terhadap garis y=-x

Refleksi terhadap garis x=k

Refleksi terhadap garis y=k

Refleksi terhadap titik (p,q)
Sama dengan rotasi pusat (p,q) sejauh 180˚

Refleksi terhadap titik pusat (0,0)

Refleksi terhadap garis y=mx,m=tan α

Refleksi terhadap garis y=x+k

Refleksi terhadap garis y=-x+k

B. ROTASI
Rotasi Rumus Matriks
Rotasi dengan pusat (0,0) dan sudut putar α

Rotasi dengan pusat P(a,b) dan sudut putar α
Keterangan
α + : arah putaran berlawanan putaran jarum jam
α – : arah putaran searah putaran jarum jam
SIFAT-SIFAT
Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.
Catatan:
Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.
C. DILATASI
Aini dan teman-temannya berkunjung ke IPTN. Di sana, mereka mengamati miniatur sebuah pesawat terbang. Miniatur pesawat terbang ini mempunyai bentuk yang sama dengan pesawat terbang sesungguhnya, tetapi ukurannya lebih kecil. Bentuk seperti miniatur pesawat terbang ini telah mengalami dilatasi diperkecil dari pesawat terbang sesungguhnya. Selain dilatasi diperkecil, terdapat pula dilatasi diperbesar, misalnya pencetakan foto yang diperbesar dari klisenya. Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini disebut faktor dilatasi. Faktor dilatasi ini dinotasikan dengan huruf kecil, misalnya k.
• Jika k $ _ 1 atau k 0 1, maka hasil dilatasinya diperbesar
• Jika _1 $ k $ 1, maka hasil dilatasinya diperkecil
• Jika k _ 1, maka hasil dilatasinya tidak mengalami perubahan
Dilatasi Rumus Matriks
Dilatasi dengan pusat (0,0) dan factor dilatasi k

Dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor dilatasi k

D. KOMPOSISI TRANSFORMASI DENGAN MATRIKS
Matriks yang bersesuaian dengan transformasi geometri
Transformasi Rumus Matriks
Identitas

Translasi

Refleksi terhadap sumbu-x

Refleksi terhadap sumbu-y

Refleksi terhadap garis y=x

Refleksi terhadap garis y=-x

Refleksi terhadap garis x=k

Refleksi terhadap garis y=k

Refleksi terhadap titik (p,q)
Sama dengan rotasi pusat (p,q) sejauh 180˚
Refleksi terhadap titik pusat (0,0)

Refleksi terhadap garis y=mx,m=tan α

Refleksi terhadap garis y=x+k

Refleksi terhadap garis y=-x+k

Rotasi dengan pusat (0,0) dan sudut putar α

Rotasi dengan pusat P(a,b) dan sudut putar α

Dilatasi dengan pusat (0,0) dan factor dilatasi k

Dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor dilatasi k

Komposisi transformasi
1. komposisi dua translasi berurutan
Diketahui dua translasi dan . Jika translasi dilanjutkan translasi maka dinotasikan ” ” dan translasi tunggalnya adalah T=T1+T2=T2+T1(sifat komutatif).
2. komposisi dua refleksi berurutan
a. refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar
Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis x=b. Maka bayangan akhir A adalah yaitu:
x’=2(b-a)+x
y’=y
Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis y=a dilanjutkan terhadap garis y=b. Maka bayangan akhir A adalah yaitu:
x’=x
y’=2(b-a)+y
b. refleksi terhadap dua sumbu saling tegak lurus
Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis y=b (dua sumbu yang saling tegak lurus) maka bayangan akhir A adalah sama dengan rotasi titik A(x,y) dengan pusat titik potong dua sumbu (garis) dan sudut putar 180˚
c. refleksi terhadap dua sumbu yang saling berpotongan
Jika titik A(x,y) direleksikan terhadap garis g dilanjutkan terhadap garis h, maka bayangan akhirnya adalah dengan pusat perpotongan garis g dan h dan sudut putar 2α(α sudut antara garis g dan h) serta arah putaran dari garis g ke h.
Catatan
d. sifat komposisi refleksi
Komposisi refleksi (refleksi berurutan) pada umumnya tidak komutatif kecuali komposisi refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan terhadap sumbu y (dua sumbu yang saling tegak lurus).
3. rotasi berurutan yang sepusat
a. Diketahui rotasi R1(P(a,b),α) dan R2(P(a,b),β), maka transformasi tunggal dari komposisi transformasi rotasi R1 dilanjutkan R2 adalah rotasi R(P(a,b),α+β)
b. Rotasi R1 dilanjutkan R2 sama dengan rotasi R2 dilanjutkan R1
4. komposisi transformasi
Diketahui transformasi maka transformasi tunggal dari transformasi:
a. T1 dilanjutkan T2 (T2 ◦ T1) adalah T=T2 . T1
b. T2 dilanjutkan T1 (T1 ◦ T2) adalah T=T1 . T2
Catatan T1 . T2 = T2 . T1
5. bayangan suatu kurva/bangun oleh dua transformasi atau lebih
Contoh: Tentukan bayangan garis -4x+y=5 oleh pencerminan terhadap garis y=x dilanjutkan translasi !
Jawab: misal titik P(x,y) pada garis -4x+y=5
P(x,y) dicerminkan terhadap garis y=x, bayangannya P'(y,x)
P'(y,x) ditranslasi . Bayangannya P”(y+3, x+2)=P”(x”,y”)
Jadi x” = y +3 → y = x”-3
y” = x +2 → x = y” -2
persamaan -4x+y=5 → -4(y” -2) + (x” – 3) = 5
-4y” + 8 + x” – 3 = 5
x” – 4y”= 0
jadi bayangan akhirnya adalah x – 4y= 0

6. luas bangun hasil tranformasi
Jika suatu bangun (segitiga, lingkaran, dan lain-lain) ditransformasikan maka:
a. Luas bangun bayangan tetap untuk transformasi : translasi, refleksi, dan rotasi.
b. Luas bangun bayangan berubah untuk transformasi dilatasi, yaitu jika luas bangun mula-mula L setelah didilatasi oleh [P(a,b),k], maka luas bangun bayangannya adalah L’=k2 +L

E. Setengah putaran
definisi
setengah putaran suatu titik A adalah pemetaan HA untuk setiap titik P pada bidang yang didefinisikan :
1. jika P ≠ A , maka HA(P)=P’ sedemikian hingga A titik tengah segmen PP’
2. HA (A)=A
3. Dari pembahasan sebelumnya diketahui bahwa refleksi garis merupakan dasar dalam mempelajari transformasi, hal ini benar adanya karena setiap isometri adalah suatu refleksi garis jenis lain atau suatu komposisi dari dua atau lebih refleksi garis. Suatu ketika nanti akan diperlihatkan bahwa suatu etengah putaran dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua refleksi garis. Hal ini akan menjamin bahwa setengah putaran adalah isometric, dan suatu hasil kali isometri-isometri adalah sebuah isometri. Setengah putaran juga memetakan garis-garis onto garis garis, dan mempertahankan ukuran sudut, kesejajaran dan ketegaklurusannya.
Teorema
Misalkan A sebuah titik, garis-garis s dan t dua garis tegak lurus yang berpotongan di A, maka HA = MsMt.
Pembuktian

Karena s dan t tegak lurus, kita bias membuat suatu system koordinat, misalnya s sebagai sumbu x, t sumbu y, dan A menjadi titik asal. Untuk membuktikan teorema ini harus diperlihatkan bahwa untuk setiap titik P.
HA (P) = MsMt (P)
Tetapkan sebuah tk P(x,y) yang bukan titik A pada bidang.
Jadi P°(x°, y°) = Hᴀ (P)
Maka A adalah titik tengah dari PP°, Sehingga:
(0,0) =
sehingga 0 = dan 0 =
diperoleh x° = -x dan y° = -y
Karena itu, Hᴀ (P) = P° = (-x,-y)
maka MsMt (P) = Ms
= (-x,-y)
= Hᴀ (P)
Karena P≠A diperoleh MsMt(P) = Hᴀ (P)
Padahal, MsMt (A) = Ms (A) = A dan Hᴀ(A) = A
Disimpulkan bahwa MsMt = Hᴀ
Berarti teorema ini telah dibuktikan.
Implikasi teorema ini adalah bahwa suatu setengah putaran dapat dinyatakan sebagai hasil kalo dari dua refleksi garis. Jadi, jika dan adalah sepasang garis tegak lurus yang berpotongan di A, maka :
MuMv = MsMt = Hᴀ

Karena setengah putaran isometric, maka bayangan suatu garis oleh setengah putaran , adalah garis lagi. Setengah putaran mempunyai sifat bahwa bayangan suatu garis adalah garis lagi selain garis itu atau garis yang sejajar garis itu. Untuk membuktikan hal ini, perhatikan suatu garis dan setengah putaran HA. Andaikan bahwa A , maka ambil sembarang titik P dan Q pada , dimana PI = HA (P), QI = HA(Q), dan = H

Karena ’ adalah suatu garis yang memuat P’ dan Q’, maka ’=
Tetapi, PQP’Q’ adalah suatu jajar genjang yang diagonal-diagonalnya dan saling membagi dua satu sama lain di A.
Karena // maka disimpulkan I //
Selanjutnya andaikan A Є Jika adalah garis tegak lurus di A, HA = MtMs maka
I= Hᴀ(s) = MtMs (s) = Mt ( )
Tetapi, karena dan Mt(s) = maka I= .

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s